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math:2:15_2_3

Chapitre 15 : Variables aléatoires à densité usuelles

15.2 Loi exponentielle

Loi sans mémoire

L'exemple qui précède tend à montrer que la loi exponentielle est une extrapolation (continue) de la loi géométrique (discrète). Rappelons que la loi géométrique est la seule loi sans mémoire discrète. Voyons ce qu'il en est de la loi exponentielle.

Définition : Loi sans mémoire

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs positives et telle que :

$$\forall x\geqslant0,\;\mathbb P(X>x)>0$$

On dit que la loi de $X$ est une loi sans mémoire si et seulement si :

$$\forall(x,y)\in[0,+\infty[^{2},\;\mathbb P_{[X>y]}(X>x+y)=\mathbb P(X>x)$$

Remarque

  • Si $X$ mesure la durée de vie d'une machine alors l'absence de mémoire (l'absence de vieillissement ici) signifie que sa probabilité de fonctionner encore $x$ unités de temps sachant qu'elle a déjà fonctionné $y$ unités de temps est la même que sa probabilité de fonctionner $x$ unités de temps dès après sa fabrication.
  • Remarquons aussi que la propriété d'absence de mémoire est équivalente aux deux propositions suivantes :

    $$\forall(x,y)\in[0,+\infty[^{2},\;\mathbb P(X>x+y)=\mathbb P(X>x)\mathbb P(X>y)$$

    $$\forall(x,y)\in[0,+\infty[^{2},\; F_{X}(x+y)=F_{X}(x)+F_{X}(y)-F_{X}(x)F_{X}(y)$$

Théorème : Caractérisation d'une loi sans mémoire à densité

Soit $X$ une variable aléatoire à densité, à valeurs positives et telle que $\mathbb P(X>x)>0$ pour tout réel $x\geqslant0$. Alors, la loi de $X$ est une loi sans mémoire si et seulement si $X$ suit une loi exponentielle.

math/2/15_2_3.txt · Dernière modification: 2011/12/11 22:16 par Alain Guichet