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math:2:8_3_3

Chapitre 8 : Variables aléatoires discrètes infinies

8.3. Espérance d'une variable aléatoire

Théorème de transfert et applications

Dans tout ce paragraphe, les variables aléatoires considérées sont définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal T,\mathbb P)$.

Théorème : Théorème de transfert, 2nde partie

  • Soit $X$ une variable aléatoire discrète infinie. Soit $f\colon I\to\R$ une fonction de transfert et $Y=f(X)$. Alors :
    • la variable $Y$ admet une espérance si et seulement si la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{f(x_{n})\mathbb P(X=x_{n})}$ converge absolument et dans ce cas, on a :

      $$\ds\mathbb E(Y)=\sum_{n=0}^{+\infty}{f(x_{n})\mathbb P(X=x_{n})}=\sum_{x\in X(\Omega)}{f(x)\mathbb P(X=x)}$$

    • en particulier, si $X$ admet une espérance alors, pour tout couple $(a,b)$ de réels, la variable aléatoire $Y=aX+b$ admet une espérance et :

      $$\mathbb E(aX+b)=a\mathbb E(X)+b$$

  • Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes infinies. Soit $f\colon\R^{2}\to\R$ une fonction de transfert et $Z=f(X,Y)$. Alors :
    • la variable $Z$ admet une espérance si et seulement si la série $\ds\sum_{(i,j)\in\N^{2}}{f(x_{i},y_{j})\mathbb P([X=x_{i}]\cap[Y=y_{j}])}$ converge absolument et dans ce cas, on a :

      $$\ds\mathbb E(Z)=\sum_{i=0}^{+\infty}{\sum_{j=0}^{+\infty}{f(x_{i},y_{j})\mathbb P([X=x_{i}]\cap[Y=y_{j}])}}=\sum_{\substack{x\in X(\Omega)\\ y\in Y(\Omega)} }{f(x,y)\mathbb P([X=x]\cap[Y=y])}$$

    • en particulier, si $X$ et $Y$ admettent une espérance alors, pour tout couple $(\lambda,\mu)$ de réels, la variable aléatoire $\lambda X+\mu Y$ admet une espérance et on a :

      $$\mathbb E(\lambda X+\mu Y)=\lambda\mathbb E(X)+\mu\mathbb E(Y)$$

    • si $X$ et $Y$ admettent une espérance et sont indépendantes alors $XY$ admet une espérance et on a :

      $$\mathbb E(XY)=\mathbb E(X)\mathbb E(Y)$$

  • Généralisation à un transfert d'un vecteur aléatoire et à l'espérance d'une combinaison linéaire (par récurrence).

math/2/8_3_3.txt · Dernière modification: 2010/08/30 17:25 (modification externe)